第68章 专题训练：数列求和技巧大汇总(第1/4页)

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“地毯式扫荡”按计划稳步推进，凌凡像一头勤恳的老黄牛，将数学课本前几章的知识点反复犁耘，基础以肉眼可见的速度变得坚实。那种对知识脉络的清晰把握，让他解答基础题和中档题时，拥有了一种前所未有的从容和笃定。

然而，当复习的进程推进到《数列》这一章时，凌凡明显感觉到阻力增大。数列，尤其是数列求和，仿佛是一个充斥着各种奇巧淫技的迷宫。公式多、方法活、技巧性强，往往一道题看似平平无奇，却需要灵光一闪的变形才能破解。这与他之前依赖逻辑推导和基础巩固的模式有所不同。

他的错题本上，“数列求和”这一分类下的题目开始密集出现，红叉的比例显着高于其他章节。尤其是那几次尝试性的综合练习卷中，只要压轴题涉及到数列求和，他基本上都是折戟沉沙。

“数列……求和……”凌凡看着一道他苦思冥想二十分钟仍无头绪的题，眉头紧锁。题目要求求

{n(n+1)(2n+1)}

的前n项和。他尝试了裂项，但找不到规律；尝试了直接求和公式，脑子里根本没有；尝试用数学归纳法，但那是在知道结论后证明，而非求解。

一种熟悉的无力感隐隐袭来，仿佛又回到了被三角函数公式混淆支配的恐惧之中。他意识到，对于数列求和这种题型，零敲碎打的修补是不够的，必须进行专题训练，集中火力，系统性地攻克它！

他立刻调整了当晚的复习计划，将原本用于其他科目扫荡的时间，临时划拨给“数列求和”专题。他从书堆里翻出所有能找到的练习册、试卷，将里面涉及数列求和的题目全部标记出来。很快，几十道各式各样的数列求和题汇集到了他的面前。

面对这浩如烟海的题目，他没有盲目地开始刷题。他深吸一口气，回想起陈景先生的话：“遇到复杂题型，先分类，再总结，形成方法体系。”

他决定先归纳总结数列求和的常见方法。他找出一张最大的a4纸，在顶端写下“数列求和技巧大汇总”，然后开始梳理：

1.

公式法：这是根基。他首先默写等差、等比数列的前n项和公式，确保滚瓜烂熟。接着，他补充记忆一些常见的求和公式，如

12+22+32+…+n2

=

n(n+1)(2n+1)\/6，

13+23+…+n3

=

[n(n+1)\/2]2。他意识到，自己之所以对那道{n(n+1)(2n+1)}的题无从下手，很大程度上是因为不熟悉这个平方和公式的变形！“基础不牢，地动山摇”，他再次深刻体会到了这一点。他将这些公式用红笔框出，列为“必须死记”级别。

2.

裂项相消法：这是数列求和中最常用、也最需要技巧性的方法之一。他仔细研究错题本和例题，将常见的裂项模型进行归类：

·

分式型：主要是分母为两项乘积，分子为常数或一次式。例如

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